Question

【题目】椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。

（1）球椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）

又点P的坐标为（0，1），且＝－1

于是，解得a＝2，b＝

所以椭圆E方程为.

（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1

A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）

联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0

其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0

所以

从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]

＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1

＝

＝－

所以，当λ＝1时，－＝－3

此时， ＝－3为定值

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD

此时＝－2－1＝－3

故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.