Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)经过点A(

3 5

5

，

4 5

5

)，其渐近线方程为y=±2x．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，证明：AF₁⊥AF₂．

Answer 1

分析：（1）根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为 y=±2x，将点C坐标代入方程，列出关于a，b的方程，解出a，b，进而可得答案．
（2）由（1）得，F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，从而以F₁F₂为直径的圆的方程，再根据点A(

3 5

5

，

4 5

5

)的坐标满足方程x²+y²=5，得出点A在以F₁F₂为直径的圆上，最终得出AF₁⊥AF₂．

解答：（1）解：依题意

b a =2 9 5a2 - 16 5b2 =1

…（3分）      
解得 

a=1 b=2.

…（5分）
所以双曲线的方程为x2-

y2

4

=1．…（6分）
（2）由（1）得，F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)，
从而以F₁F₂为直径的圆的方程是x²+y²=5．…（9分）
因为点A(

3 5

5

，

4 5

5

)的坐标满足方程x²+y²=5，
故点A在以F₁F₂为直径的圆上，所以AF₁⊥AF₂．…（12分）

点评：本题考查双曲线的方程、双曲线的简单性质，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，要求学生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式．