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11.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程:
(Ⅱ)过椭圆焦点F的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)若F是右焦点,y轴上一点M(0,$\frac{1}{3}$)满足|MN|=|MB|,求直线1斜率k的值;
(2)若F是左焦点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线1交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G的横坐标的取值范围.

分析 (Ⅰ)利用椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,求出c,a,从而可求b,即可求椭圆的方程;
(Ⅱ)(1)设直线的方程为y=k(x-1),联立直线与椭圆的方程,可得AB的中点坐标,确定AB的中垂线方程,利用|MA|=|MB|,即可求直线l的斜率k的值.
(2)利用AB的中垂线方程,由此能求出点G横坐标的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴c=1,a=$\sqrt{2}$,
∴b=1,
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1;
(Ⅱ)(1)已知F2(1,0),设直线的方程为y=k(x-1),A(x1,y1)B(x2,y2
联立直线与椭圆的方程,化简得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,y1+y2=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$,
∴AB的中点坐标为($\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$)
①当k≠0时,AB的中垂线方程为y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$(x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$)
∵|MA|=|MB|,∴点M在AB的中垂线上,将点M的坐标代入直线方程得:$\frac{1}{3}$+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$(0-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$),
即2k2-3k+1=0,解得k=1或$\frac{1}{2}$;
②当k=0时,AB的中垂线方程为x=0,满足题意
∴斜率k的取值为0,1或$\frac{1}{2}$;
(2)由(1)AB的中垂线方程为y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$(x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$)
令y=0,得xG=x0+ky0=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4{k}^{2}+2}$
∵k≠0,∴-$\frac{1}{2}$<xG<0
∴点G横坐标的取值范围为(-$\frac{1}{2}$,0).

点评 本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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