Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于

π

3

，求函数f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，求b-a的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=cos（

π

4

+φ）=0，结合|φ|＜

π

2

，求得φ的值．
（2）由函数的周期为

2π

ω

=2×

π

3

，求得ω 的值，可得f（x）的解析式．
（3）由题意可得 sin（3x+

π

4

）=

1

2

在区间[a，b]上有三个实数根，可得b-a的最小值为一个周期，b-a的最大值趋于2个周期，从而求得b-a的取值范围．

解答： 解：（1）函数函数f（x）=sin（ωx+φ），若cos

π

4

cosφ-sin

3π

4

sinφ=cos（

π

4

+φ）=0，
结合|φ|＜

π

2

，可得 φ=

π

4

．
（2）由于函数f（x）的图象与x轴的相邻两个交点之间的距离等于

π

3

，
可得函数的周期为

2π

ω

=2×

π

3

，求得ω=3，故f（x）=sin（3x+

π

4

）．
（3）在（2）的条件下，若方程2f（x）-1=0在区间[a，b]上有三个实数根，
即 sin（3x+

π

4

）=

1

2

在区间[a，b]上有三个实数根，
故b-a的最小值为一个周期

2π

3

，b-a的最大值趋于2个周期

4π

3

，
故b-a∈[

2π

3

，

4π

3

）．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象性质，方程根的存在性及个数判断，属于基础题．