Question

(理)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x²+3y²=a²(a＞0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.

(1)证明a²＞;

(2)若AC=2CB,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.

(文)设a∈R,函数f(x)=x³-x²-x+a.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)当x∈［0,2］时,若|f(x)|≤2恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

答案：(理)(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故y=k(x+1)可化为x=y-1.

将x=y-1代入x²+3y²=a²,消去x,得(+3)y²-y+1-a²=0.① 

由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得Δ=-4(+3)(1-a²)＞0,整理,得(+3)a²＞3,

即a²＞.

(2)解:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由①,得y₁+y₂=.因为,得y₁=-2y₂,代入上式,得y₂=.

于是,△OAB的面积S=|OC|·|y₁-y₂|=|y₂|=.

其中,上式取等号的条件是3k²=1,即k=±.

由y₂=,可得y₂=.将k=,y₂=-及k=-,y₂=这两组值分别代入①,

均可解出a²=5.所以△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程是x²+3y²=5.

(文)(1)解:对函数f(x)求导数,得f′(x)=3x²-2x-1.

令f′(x)＞0,解得x＞1,或x＜-;

令f′(x)＜0,解得-＜x＜1.

所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(1,+∞);f(x)的单调递减区间为(-,1).

(2)解:由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)=-1+a;

由f(0)=a,f(2)=2+a,知f(0)＜f(2),所以f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=2+a.

因为,当x∈[0,2]时,|f(x)|≤2-2≤f(x)≤2解得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].