Question

已知函数f（x）=1+a；g（x）=．
（I）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（II）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）当a=1时，f（x）=1+，根据f（x）在（-∞，0）上递减，可求f（x）在（-∞，0）的值域；
（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立，分离参数可得在[0，+∞）上恒成立，从而，由此可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）先判断g（x）在[0，1]上递减，即，再分类讨论，即可确定M的取值范围．
解答：解：（I）当a=1时，f（x）=1+；
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）
（II）由题意知，对任意x∈[0，+∞），总有-3≤f（x）≤3成立．
∴
∴在[0，+∞）上恒成立，
∴
设2^x=t，则t≥1，设h（t）=-4t-，p（t）=2t-，
∴，p′（t）=2+
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增
∴在[1，+∞）上，h（t）_max=h（1）=-5，p（t）_min=p（1）=1
∴实数a的取值范围为[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）==-1+．
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即
①当，即m∈（0，]时，，此时，M≥
②当，即m∈（，+∞）时，，此时，M≥
综上所述，m∈（0，]时，M的取值范围为；m∈（，+∞）时，M的取值范围为．
点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是转化为求函数的最值．