Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且满足.

（1）求、的值；

（2）设、是抛物线上不与重合的两个动点，记直线、与的准线的交点分别为、，若，问直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）过定点，且定点的坐标为.

【解析】

（1）将点的坐标代入抛物线的方程结合抛物线的定义可得出关于、的方程组，解出即可；

（2）设直线方程为，、，求出直线、的方程，解出点、的坐标，利用，得，结合韦达定理，求出，再求出定点坐标．

（1）由题意得抛物线的准线方程，则，

由题意得，解得；

（2）由（1）得抛物线的焦点，，

显然直线的斜率不为零，设直线方程为，、，

联立，消去得，

由韦达定理得，.

直线的斜率，

故直线的方程为，

令，得，故的坐标为，

同理的坐标为，

，，，，

所以，，

，所以，直线的方程为，过定点.