Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BB₁=BC=2．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）直线AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BB₁=BC=2．我们易求出棱柱的底面积，代入棱柱体积公式即可求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）要求直线AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正弦值，我们要先找到B₁点在平面AA₁C₁C上的射影，进而找到直线AB₁在平面AA₁C₁C上的射影，解三角形即可得到直线AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

解答：解：（1）VA1B1C1-ABC=sh=

3

4

×22×2=2

3

．（3分）
（2）令E为A₁C₁中点，连B₁E，则B₁E⊥面ACC₁A₁．
再连AE，得∠B₁AE为AB₁与面ACC₁A所成角．（6分）
在Rt△AB₁E中，B1E=

3

，AB1=2

2

，∴sin∠B1AE=

3

2 2

=

6

4

．
故直线AB₁与平面AA₁C₁C所成角的正弦值

6

4

．（8分）

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征及直线与平面所成的角，其中要求线面夹角，找出直线上除斜足上任一点在平面上的射影（垂足），进而构造也线面夹角的平面角是解答的关键．