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如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F、G分别为EB和AB的中点.
(1)求证:FD∥平面ABC;
(2)求证:AF⊥BD;
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)证明见解析(Ⅲ)
证:(1)∵F、G分别为EB、AB的中点,
∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC,
∴四边形FGCD为平行四边形,∴FD∥GC,又GC面ABC,
∴FD∥面ABC.
(2)∵AB=EA,且F为EB中点,∴AF⊥EB ① 又FG∥EA,EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC,AB边的中点,∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD,又BD面EBD,∴AF⊥BD.
(3)由(1)、(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC,垂足为H,连HB,∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求.
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