Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角B-B₁C₁-A₁的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根据ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°得到△A₁B₁B是正三角形，则BM⊥A₁B，然后根据平面ABB₁A₁与平面A₁B₁C₁垂直的性质性质定理可知BM⊥平面A₁B₁C₁，而AC∥A₁C₁，从而得到结论；
（2）根据题意可知BE⊥B₁C₁，根据二面角平面角的定义可知∠BEM为所求二面角的平面角，在△A₁B₁C₁中，求出ME，在Rt△BMB₁中，求出MB，最后在三角形BEM中求二面角的正切值．

解答：解：（1）证明：∵ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°?△A₁B₁B是正三角形
又∵

M是 A1B1的中点

，∴ BM⊥A1B?BM⊥平面A₁B₁C₁

∴BM⊥A1C1 又∵AC∥A1C1

?BM⊥AC
（2）

过M作ME⊥B1C1且交于点E ∵BM⊥平面A1B1C1

?BE⊥B₁C₁∴∠BEM为所求二面角的平面角
△A₁B₁C₁中，ME=MB₁•sin60°=

3

4

a，Rt△BMB₁中，MB=MB₁•tan60°=

3

2

a
∴tan∠BEM=

MB

ME

=2，∴所求二面角的正切值是2

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．