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【题目】在如图所示的几何体中,四边形 是等腰梯形, , 平面 ,

(1)求证: 平面
(2)求二面角 的余弦值.

【答案】
(1)证明:因为四边形 为等腰梯形,

所以 .又 ,所以

因此 ,又 ,且

平面 ,所以 平面


(2)解:取 的中点 ,连接CG,FG,因为 ,所以

平面 平面 ,所以

由于 平面 ,所以 平面

.所以 为二面角 的平面角.

在等腰三角形 中,由于 ,因此 ,又 ,所以 ,故 ,

因此,二面角 的余弦值为


【解析】(1)由题意可得证A D ⊥ B D 、 A E ⊥ B D再由线面垂直的判定定理可得证B D ⊥ 平面 A E D。(2)根据题意建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标,设出平面BDE和平面DBC的法向量,由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量,再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间向量的数量积运算,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;等于的长度的方向上的投影的乘积即可以解答此题.

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【题目】已知抛物线C:y=2x2 , 直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N. (Ⅰ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(Ⅱ)是否存在实数k使 ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.

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(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求∠CAB的大小?

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A.α<β<γ<θ
B.α<β<θ<γ
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D.α<γ<β<θ

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(Ⅰ)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

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【题目】如下图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,EF分别是BCCC1的中点.

(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥FAEC的体积.

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【题目】已知an=logn+1(n+2)(n∈N+),观察下列运算:a1a2=log23log34= =2;a1a2a3a4a5a6=log23log34…log67lg78= =3;….定义使a1a2a3…ak为整数的k(k∈N+)叫做希望数,则在区间[1,2016]内所有希望数的和为(
A.1004
B.2026
C.4072
D.22016﹣2

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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

x:y

1:1

2:1

3:4

4:5

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