【题目】在如图所示的几何体中,四边形 是等腰梯形, , 平面 , , .
(1)求证: 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】
(1)证明:因为四边形 为等腰梯形, , ,
所以 .又 ,所以 ,
因此 , ,又 ,且 ,
平面 ,所以 平面
(2)解:取 的中点 ,连接CG,FG,因为 ,所以 .
又 平面 , 平面 ,所以 .
由于 , 平面 ,所以 平面 ,
故 .所以 为二面角 的平面角.
在等腰三角形 中,由于 ,因此 ,又 ,所以 ,故 ,
因此,二面角 的余弦值为
【解析】(1)由题意可得证A D ⊥ B D 、 A E ⊥ B D再由线面垂直的判定定理可得证B D ⊥ 平面 A E D。(2)根据题意建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标,设出平面BDE和平面DBC的法向量,由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量,再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间向量的数量积运算,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;等于的长度与在的方向上的投影的乘积即可以解答此题.
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【题目】已知抛物线C:y=2x2 , 直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N. (Ⅰ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(Ⅱ)是否存在实数k使 ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
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【题目】一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行(2 ﹣2)nmile到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,求∠CAB的大小?
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【题目】正四棱锥S﹣ABCD中,侧棱与底面所成的角为α,侧面与底面所成的角为β,侧面等腰三角形的底角为γ,相邻两侧面所成的二面角为θ,则α、β、γ、θ的大小关系是( )
A.α<β<γ<θ
B.α<β<θ<γ
C.θ<α<γ<β
D.α<γ<β<θ
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【题目】如图所示,ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1 , B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP= ,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点.
(Ⅰ)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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【题目】如下图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E、F分别是BC、CC1的中点.
(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC的体积.
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【题目】已知an=logn+1(n+2)(n∈N+),观察下列运算:a1a2=log23log34= =2;a1a2a3a4a5a6=log23log34…log67lg78= =3;….定义使a1a2a3…ak为整数的k(k∈N+)叫做希望数,则在区间[1,2016]内所有希望数的和为( )
A.1004
B.2026
C.4072
D.22016﹣2
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x:y | 1:1 | 2:1 | 3:4 | 4:5 |
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