Question

已知a＞0，设命题p：函数y=(

1

a

)x为增函数．命题q：当x∈[

1

2

，2]时函数f(x)=x+

1

x

＞

1

a

恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q成立的等价条件，利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，确定实数a的取值范围．

解答：解：由y=（

1

a

）^x为增函数得，0＜a＜1，即p：0＜a＜1．
∵f（x）在[

1

2

，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数．
∴f（x）在x∈[

1

2

，2]上最小值为f（1）=2．
当x∈[

1

2

，2]时，由函数f（x）=x+

1

x

＞

1

a

恒成立得，2＞

1

a

，解得a＞

1

2

，
即q：a＞

1

2

．
若“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假．
如果p真且q假，则0＜a≤

1

2

．
如果p假且 q真，则a≥1．
∴a的取值范围为（0，

1

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．