Question

8．函数$f（x）=6{cos^2}\frac{ωx}{2}+\sqrt{3}sinωx-3（{ω＞0}）$在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若$f（{x_0}）=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，且${x_0}∈（{-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}}）$，求f（x₀+1）的值；
（3）若函数f（x）满足方程$f（x）=a（{0＜a＜2\sqrt{3}}）$，求在[-2，12]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据题意求得BC的长，进而求得三角函数的最下正周期，则ω可得．求得f（x）的表达式，根据三角函数的性质求得函数f（x）的值域．
（2）由${x_0}∈（{-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}}）$，知 $\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），由f（x0）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，可求得即sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，利用两角和的正弦公式即可求得f（x₀+1）．
（3）根据正弦函数的周期性以及图象的对称性，求得方程f（x）=a在[-2，12]内的所有实数根之和．

解答 解：（1）f（x）=6cos2$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3=3（cosωx+1）+$\sqrt{3}$sinωx-3=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∵正三角形的高为2$\sqrt{3}$，
∴BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{4}$，
∴函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈R，
∴-1≤sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函数f（x）的值域为[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
（Ⅱ）∵f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，由（Ⅰ）有f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
即sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，由${x_0}∈（{-\frac{10}{3}，\frac{2}{3}}）$，知$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
∴f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$sin[（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$]
=2$\sqrt{3}$（$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
=$\frac{7\sqrt{6}}{5}$．
（3）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），
∴当x∈[-2，12]，$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{10π}{3}$]，
作出f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），x∈[-2，12]的函数图象如下：

设y=a与f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），x∈[-2，12]的图象交点的横坐标分别为x₁、x₂、x₃、x₄（自左向右），
则：x₁+x₂=$\frac{2}{3}×2$=$\frac{4}{3}$；
x₂+x₃=$\frac{14}{3}×2$=$\frac{28}{3}$；
x₃+x₄=$\frac{26}{3}×2$=$\frac{52}{3}$，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{56}{3}$，即此方程在[-2，12]内所有实数根之和为：$\frac{56}{3}$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．