分析 (1)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简,根据题意求得BC的长,进而求得三角函数的最下正周期,则ω可得.求得f(x)的表达式,根据三角函数的性质求得函数f(x)的值域.
(2)由${x_0}∈({-\frac{10}{3},\frac{2}{3}})$,知 $\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),由f(x0)=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$,可求得即sin($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$)=$\frac{4}{5}$,利用两角和的正弦公式即可求得f(x0+1).
(3)根据正弦函数的周期性以及图象的对称性,求得方程f(x)=a在[-2,12]内的所有实数根之和.
解答 解:(1)f(x)=6cos2$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3=3(cosωx+1)+$\sqrt{3}$sinωx-3=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin(ωx+$\frac{π}{3}$),
∵正三角形的高为2$\sqrt{3}$,
∴BC=4,
∴函数f(x)的周期T=4×2=8,ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{4}$,
∴函数f(x)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$),
∵x∈R,
∴-1≤sin($\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$)≤1,
∴函数f(x)的值域为[-2$\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$].
(Ⅱ)∵f(x0)=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$,由(Ⅰ)有f(x0)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$)=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$,
即sin($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$)=$\frac{4}{5}$,由${x_0}∈({-\frac{10}{3},\frac{2}{3}})$,知$\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),
∴cos($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{1-(\frac{4}{5})^{2}}$=$\frac{3}{5}$.
∴f(x0+1)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$)=2$\sqrt{3}$sin[($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$)+$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$[sin($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$)cos$\frac{π}{4}$+cos($\frac{π}{4}$x0+$\frac{π}{3}$)sin$\frac{π}{4}$]
=2$\sqrt{3}$($\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$)
=$\frac{7\sqrt{6}}{5}$.
(3)∵f(x)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$),
∴当x∈[-2,12],$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{10π}{3}$],
作出f(x)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$),x∈[-2,12]的函数图象如下:
设y=a与f(x)=2$\sqrt{3}$sin($\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$),x∈[-2,12]的图象交点的横坐标分别为x1、x2、x3、x4(自左向右),
则:x1+x2=$\frac{2}{3}×2$=$\frac{4}{3}$;
x2+x3=$\frac{14}{3}×2$=$\frac{28}{3}$;
x3+x4=$\frac{26}{3}×2$=$\frac{52}{3}$,
∴x1+x2+x3+x4=$\frac{56}{3}$,即此方程在[-2,12]内所有实数根之和为:$\frac{56}{3}$.
点评 本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质,考查分析转化与运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ?x∈R,x2+2x+2≤0 | B. | ?x∈R,x2+2x+2≤0 | C. | ?x∈R,x2+2x+2<0 | D. | ?x∈R,x2+2x+2>0 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$i | B. | $\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$i | C. | $\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$i | D. | $\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$i |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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