Question

【题目】已知Sn＝1＋＋＋…＋．

（1）求S2，S4的值；

（2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明．

Answer 1

【答案】（1）； （2）当n＝1，2时，=Tn；当n≥3时，＞Tn．证明见解析.

【解析】

（1）根据题意代入公式计算得解；

（2）先观察规律，猜测结论，并用数学归纳法证明.

解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝．

（2）当n＝1，2时，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn．

当n＝3时，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3．

于是，猜想，当n≥3时，＞Tn．

下面用数学归纳法证明：

①当n=3时，结论成立；

②假设n＝k(k≥3)时结论成立，即＞Tk；

当n＝k＋1时，＝＋＋＋…＋

＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋）

＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝，

当n＝k＋1时，＞Tn．

根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有＞Tn．

综上，当n＝1，2时，=Tn；当n≥3时，＞Tn．