Question

【题目】体积为 的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R：BC=2：3，点E为线段BD上一点，且DE=2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A.[4π，12π]
B.[8π，16π]
C.[8π，12π]
D.[12π，16π]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设BC=3a，则R=2a，

∵体积为 的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，

∴ = ，∴h= ，

∵R2=（h﹣R）2+（ a）2，∴4a2=（ ﹣2a）2+3a2，∴a=2，

∴BC=6，R=4，

∵点E为线段BD上一点，且DE=2EB，

∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB= ，

∴OE= =2 ，

截面垂直于OE时，截面圆的半径为 =2 ，截面圆面积为8π，

以OE所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，

∴所得截面圆面积的取值范围是[8π，16π]．

故选：B．

【考点精析】本题主要考查了球内接多面体的相关知识点，需要掌握球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长才能正确解答此题．