Question

20．设点A（1，1），点B，C在椭圆x²+3y²=4上，求S_△ABC的最大值，并求出取得最大值时直线BC的方程．

Answer 1

分析 利用结论：一般地，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的内接△ABC的最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab．当且仅当△ABC的重心G为坐标原点O时，面积取得最大值．

解答 解：下面利用结论：一般地，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的内接△ABC的最大面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab．当且仅当△ABC的重心G为坐标原点O时，面积取得最大值．
∵a=2，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且A点在椭圆上，
∴S_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=3．当△ABC的重心为坐标原点时，可得直线BC的中点为$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}=4$，${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$=4，
相减可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k_BC=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
∴直线BC的方程为：y-$（-\frac{1}{2}）$=-$\frac{1}{3}$$[x-（-\frac{1}{2}）]$，化为x+3y+2=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了利用重要结论解决问题的方法、推理能力与计算能力，属于难题．