Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且过点（1，

3

2

）；圆C₂：x²+y²=

12

7

．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C₂相切，且交椭圆C₁于A，B两点，求|AB|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在或直线l的斜率为0时，|AB|=

4 21

7

．当直线l的斜率存在，且不为0时，设直线l的方程为y=kx+m．由直线l与圆C₂相切，得

m2

k2+1

=

12

7

，联立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出|AB|的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且过点（1，

3

2

），
∴

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，c=1，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵圆C₂：x²+y²=

12

7

的圆心是（0，0），半径r=

2 21

7

，
椭圆C₁：

x2

4

+

y2

3

=1的焦点坐标为（±1，0），中心是（0，0），
x∈[-2，2]，y∈[-

3

，

3

]，
直线l与圆C₂相切，且交椭圆C₁于A，B两点，
∴当直线l的斜率不存在时，直线l过圆C₂：x²+y²=

12

7

与x轴交点（±

2 21

7

，0），
此时y²=

12

7

，即y=±

2 21

7

，|AB|=

4 21

7

；
当直线l的斜率为0时，直线l过圆C₂：x²+y²=

12

7

与y轴交点（0，±

2 21

7

），
此时x²=

12

7

，即x=±

2 21

7

，|AB|=

4 21

7

．
当直线l的斜率存在，且不为0时，设直线l的方程为y=kx+m．
∵直线l与圆C₂相切，∴

|m|

k2+1

=

12 7

，即

m2

k2+1

=

12

7

，
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即4k²+3-m²＞0，即

4

3

m2＞1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴|AB|=

(1+k2)[(- 8km 3+4k2 )2-4× 4m2-12 3+4k2 ]

=

21 6 |m|

7 3 m2-1

4 3 m2-1

=

21

6

|m|3+

21

6

4 3 m2-1

＞

3 7

16

．
∴|AB|的取值范围是（

3 7

16

，

4 21

7

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．