Question

如图，斜率为1的直线l过抛物线Ω：y²＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于两点A，B．

(1)若|AB|＝8，求抛物线Ω的方程；

(2)设C为抛物线弧AB上的动点(不包括A，B两点)，求△ABC的面积S的最大值；

(3)设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)

Answer 1

答案：
解析：

解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　(1)由条件知直线 　　由消去y，得　　1分 　　由题意，判别式(不写，不扣分) 　　由韦达定理， 　　由抛物线的定义， 　　从而4p＝8，2p＝4所求抛物的方程为y2＝4x　　3分 　　(2)设．由(1)易求得 　　则　　4分 　　点C到直线的距离 　　将原点O(0，0)的坐标代入直线的左边， 　　得 　　而点C与原点O们于直线的同侧，由线性规划的知识知 　　因此　　6分 　　由(1)，|AB|＝4p． 　　 　　 　　由 　　知当y0＝p时，　　8分 　　(3)由(2)，易得 　　设 　　将代入直线PA的方程 　　得 　　同理直线PB的方程为 　　将代入直线PA，PB的方程得 　　　　10分 　　 　　 　　 　　　　12分