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    8． 设椭圆C的中心在原点，两焦点F1、F2在x轴上，点P的坐标为（2，1），已知$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=3，且椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）如图，设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点M是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，直线AM，BM分别与直线x=3相交于点D、E，求|DE|的最小值．

    分析 （Ⅰ）根据点P的坐标为（2，1），$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=3，先求出C，进而结合椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再求出a，b，可得椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设点M的坐标为（m，n），代入椭圆方程可得${k}_{AM}•{k}_{BM}=-\frac{1}{2}$，设直线AM的方程为：y=k（x+2）（k＞0），则直线BM的方程为：y=$-\frac{1}{2k}$（x-2），分别与x=3联立可得D，E的坐标，进而根据基本不等式可得答案．

    解答 解：（I）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
    两焦点F1、F2的坐标为（±c，0），c＞0，
    则$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（2+c，1），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（2-c，1），
    ∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5-c2=3，
    解得c=$\sqrt{2}$，
    又由椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
    ∴a=2，
    ∴b2=a2-c2=2，
    ∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
    （Ⅱ）由（I）知，左、右顶点A、B的坐标为（±2，0），
    设点M的坐标为（m，n），
    则$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{2}=1$，即m2+2n2=4，即m2-4=-2n2，
    即（m+2）（m-2）=-2n2，
    即$\frac{（m+2）}{n}•\frac{（m-2）}{n}=-2$，即$\frac{n}{（m+2）}•\frac{n}{（m-2）}=-\frac{1}{2}$，
    即${k}_{AM}•{k}_{BM}=-\frac{1}{2}$，
    设直线AM的方程为：y=k（x+2）（k＞0），
    则直线BM的方程为：y=$-\frac{1}{2k}$（x-2），
    分别与x=3联立可得：D（3，5k），E（3，$-\frac{1}{2k}$），
    故|DE|=5k+$\frac{1}{2k}$≥$\sqrt{5k•\frac{1}{2k}}$=$\sqrt{10}$，
    当且仅当k=$\frac{\sqrt{10}}{10}$时取等号，
    故|DE|的最小值为$\sqrt{10}$．

    点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，是直线，椭圆，基本不等式，向量的数量积的综合应用，属于难题．

    练习册系列答案
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