【题目】已知函数图象上点
处的切线方程与直线
平行(其中
),
.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求函数在
(
)上的最小值;
(Ⅲ)对一切,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(I)根据切线方程与直线平行得到切线的斜率为2,即可得到
,求出函数的导函数把
代入即可求出
的值得到函数的解析式;(II)令
求出
的值为
,由函数定义域
,所以在
和
上讨论函数的增减性,分两种情况:当
属于
得到函数的最小值为
;当
时,根据函数为单调增得到函数的最小值为
,求出值即可;(III)把
的解析式代入不等式
中解出
,然后令
,求出
时
的值,然后在定义域
上分区间讨论函数的增减性,求出
的最大值,
要大于等于
的最大值即为不等数恒成立,即可求出
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由点处的切线方程为直线
平行,
得该切线斜率为2,即.
又,令
,
,所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,显然
时,
,当
时,
,
所以函数在
上单调递减.当
时,
,
所以函数在
上单调递增.
①时,
;
②时,函数
在
上单调递增,
因此
;
所以
(Ⅲ)对一切,
恒成立,
又,
,
即.
设,
.
则
,
由得
或
,
,
,
单调递增,
,
,
单调递减,
,
,
单调递增,
,且
,
所以.
因为对一切,
恒成立,
.
故实数的取值范围为
.
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【题目】给出四个命题
(1)若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;
(2)若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形;
(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC为钝角三角形;
(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC为正三角形.
以上正确命题的是_______.
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【题目】椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为
.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
交于
,
两点且
,是否存在以原点
为圆心的定圆与直线
相切?若存在求出定圆的方程;若不存在,请说明理由
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【题目】给出下列四个结论:
(1)如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中
的系数是-21;
(2)用相关指数来刻画回归效果,
的值越大,说明模型的拟合效果越差;
(3)若是
上的奇函数,且满足
,则
的图象关于
对称;
(4)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为,得2分的概率为
,不得分的概率为
,且
,已知他投篮一次得分的数学期望为2,则
的最小值为
;
其中正确结论的序号为__________.
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【题目】已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中正确的是________(填入正确结论的序号).
①y=f(x)的图象关于点(2π,0)中心对称;
②y=f(x)的图象关于直线x=π对称;
③f(x)的最大值为;
④f(x)既是奇函数,又是周期函数.
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【题目】某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。设购进A掀电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元。
①求y与x的关系式;
②该商店购进A型、B型各多少台,才能使销售利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台。若商店保持两种电脑的售价不变,请你以上信息及(2)中的条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案。
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【题目】已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=
,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).若|AB|=,求直线l的倾斜角.
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【题目】(本小题满分14分)
已知函数(
为常数)的图像与
轴交于点
,曲线
在点
处的切线斜率为
.
(1)求的值及函数
的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在
,使得当
时,恒有
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