Question

5．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），观察下列运算a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=2，a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•log₆7•log₇8=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg7}{lg6}$•$\frac{lg8}{lg7}$=3．定义使a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数的k（k∈N^*）叫做企盼数．则区间[1，2016]内的所有企盼数的和为 （　　）

• A． 2026
• B． 2057
• C． 2073
• D． 2074

Answer 1

分析 利用对数的运算性质可知a₁•a₂•a₃•…•a_k=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃•…•a_k=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg（k+1）}{lgk}$•$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$，
∴k+2=2^t（t≥2，t∈N^*），
于是区间[1，2016]内的所有企盼数的和为（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）=$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{9}）}{1-2}$-2×9=2026，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，利用对数的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．