Question

设函数f（x）=

a

x

+xlnx （a≥1），g（x）=x³-x²-3．（1）求函数g（x）=x³-x²-3的单调区间；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M，求满足上述条件的最大整数M；
（3）求证：对任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

Answer 1

分析：第一问属于常规问题，只是要注意求单调区间要先求定义域．第二问关键要分析出如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M等价为[g（x₁）-g（x₂）]max≥M即转化为求最大最小值问题．第三问关键要分析出对任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价为f（x）_min≥f（x）_max．

解答：解：（1）考察g（x）=x³-x²-3，则g'（x）=3x（x-

2

3

）
由g′（x）＞0得x＞

2

3

或x＜0，由g′（x）＜0得0＜x＜

2

3

，
故答案为：增区间为(-∞，0)，(

2

3

，+∞)，减区间为（0，

2

3

）．
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，
等价于：[g（x₁）-g（x₂）]max≥M
由题（1）可知：当x∈[0，2]时，g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，
g（x）_max=g（2）=1
[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max- g(x)min=

112

27

，
所以满足条件的最大整数M=4
故答案为4．
（3）对任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）＞g（t）成立
等价于：在区间[1，2]上，函数f（x）的最小值不小于g（x）的最大值
由（2）知，在区间[1，2]上，g（x）的最大值为
下证当a≥1时，在区间[1，2]上，f（x）≥1恒成立．
当a≥1且x∈[1，2]时，f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx
记h（x）=

1

x

+xlnx，h'（x）=-

1

x2

+ lnx+1
当x∈[1，2]时，h'（x）≥0．所以函数h（x）在区间[1，2]上单调递增，h（x）_min=h（1）=1，得h（x）≥1
所以当a≥1且x∈[1，2]时f（x）≥1成立．
故对任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

点评：此题综合性较强，三小问层层推进环环相扣．其中第三问较难，要构造函数，然后利用导数判断单调性进而求最值！