Question

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，S_n=80，S_2n=6560，且在前n项中，最大的项为54，求n的值．

Answer 1

由已知a_n＞0，得q＞0，若q=1，则有S_n=na₁=80，S_2n=2na₁=160与S_2n=6560矛盾，故q≠1．
∵

a1(1-qn) 1-q =80     (1)  a1(1-q2n) 1-q =6560  (2)

，由（2）÷（1）得qⁿ=81（3）．
∴q＞1，此数列为一递增数列，在前n项中，最大一项是a_n，即a_n=54．
又a_n=a₁q^n-1=

a1

q

qⁿ=54，且qⁿ=81，∴a₁=

54

81

q．即a₁=

2

3

q．
将a₁=

2

3

q代入（1）得

2

3

q（1-qⁿ）=80（1-q），即

2

3

q（1-81）=80（1-q），解得q=3．又qⁿ=81，∴n=4．