Question

已知函数f（x）=4lnx-ax+

a+3

x

（a≥0）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a≥1时，设g（x）=2e^x-4x+2a，若存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域、f′（x），然后解关于x的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）＞g（x₂）可转化为在[

1

2

，2]上f（x）的最大值大于g（x）的最小值，进而转化为求f（x）、g（x）在[

1

2

，2]上的最大值、最小值问题．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

4

x

-a-

a+3

x2

=

-ax2+4x-(a+3)

x2

，（x＞0），令h（x）=-ax²+4x-（a+3），
（1）当a=0时，h（x）=4x-3，令h（x）＞0，得x＞

3

4

，此时f′（x）＞0；令h（x）＜0，得0＜x＜

3

4

，此时f′（x）＜0，∴f（x）的减区间为（0，

3

4

]，增区间为[

3

4

，+∞）；
（2）当a＞0时，△=4²-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4），
①若a≥1，则△≤0，∴h（x）≤0，f′（x）≤0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
②若0＜a＜1，则△＞0，x1+x2=

4

a

＞0，x1x2=

a+3

a

＞0，∴x1=

2- -(a-1)(a+4)

a

＞0，x2=

2+ -(a-1)(a+4)

a

＞0，
当x∈（0，x₁）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x₁，x₂）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x₂，+∞）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上，当a=0时，f（x）的减区间为（0，

3

4

]，增区间为[

3

4

，+∞）．
当0＜a＜1时，f（x）的减区间为（0，

2- -(a-1)(a+4)

a

），（

2+ -(a-1)(a+4)

a

，+∞）；增区间为（

2- -(a-1)(a+4)

a

，

2+ -(a-1)(a+4)

a

）．
当a≥1时，f（x）的减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a≥1时，f（x）在[

1

2

，2]上单调递减，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f（

1

2

）=-4ln2+

3

2

a+6，
g′（x）=2e^x-4，令g′（x）=0，得x=ln2．当x∈[

1

2

，ln2）时，g′（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（ln2，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）在[

1

2

，2]上的最小值为g（ln2）=4-4ln2+2a，
由题意可知-4ln2+

3

2

a+6＞4-4ln2+2a，解得a＜4，又a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，4）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的最值问题.

1

2

本题运用了分类讨论思想、转化思想．