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函数y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,
π
4
]
的最大值是
1
2
+
2
1
2
+
2
分析:利用sinx与cosx的平方关系,令sinx+cosx=t,通过换元,将三角函数转化为二次函数,求出对称轴及自变量t的范围,利用二次函数的单调性求出最值.
解答:解:令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)

∵x∈[0,
π
4
],∴x+
π
4
∈[0,
π
2
],
0≤t≤
2

∴sinxcosx=
t2-1
2

∴y=
1
2
t2+t-
1
2
=
1
2
(t+1)2-1
0≤t≤
2
),
对称轴t=-1,当0≤t≤
2
时,二次函数为增函数,
∴当t=
2
时,y有最大值
1
2
+
2

故答案为:
1
2
+
2
点评:本题考查了同角三角函数间基本关系,正弦函数的定义域及值域,以及二次函数的性质,其中熟练掌握三角函数中平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者的相互转化、以及二次函数的最值的求法是解本题的关键.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

函数y=sinxcosx+
3
cos2x-
3
的图象的一个对称中心是(  )
A、(
3
,-
3
2
)
B、(
6
,-
3
2
)
C、(-
3
3
2
)
D、(
π
3
,-
3
)

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科目:高中数学 来源: 题型:

在下列命题中:
①α=2kπ+
π
3
(k∈Z)是tanα=
3
的充分不必要条件
②函数y=sinxcosx的最小正周期是2π
③在△ABC中,若cosAcosB>sinAsinB,则△ABC为钝角三角形
④函数y=2sin(2x+
π
6
)+1图象的对称中心为(
2
-
π
12
,1)
(k∈Z).
其中正确的命题为
 
(请将正确命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

函数y=sinxcosx+
3
cos2x
的图象的一个对称中心是(  )
A、(
π
3
-
3
2
B、(
3
,-
3
2
C、(
3
3
2
D、(
π
3
3
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•青浦区二模)函数y=sinxcosx+
3
的最小正周期为
π
π

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列说法:
①函数f(x)=lnx+3x-6的零点只有1个且属于区间(1,2);
②若关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,则a∈(0,1);
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点;
④函数y=sinxcosx+sinx+cosx,x∈[0,
π4
]
的最小值是1.
正确的有
 
.(请将你认为正确的说法的序号都写上)

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