Question

（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.

⑴将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
⑵求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
⑶若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

Answer 1

（1）估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。
（2）调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. （3）P(A )=。

解析试题分析：（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．
（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．
（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．
解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321="0.32." 0.321000=320
∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。   ……2分
（2）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x ，19x 依题意，得 3x+8x+19x+0.321+0.081="1" ，∴x=0.02     ……4分　
设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则   ∴n=50
∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩.     ……6分
（3）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c
百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q
则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},
{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个          ……9分
设事件A为满足成绩的差的绝对值大于1秒，则事件A所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，……10分
所以P(A )=      ……12分
考点：本试题主要考查了样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力。
点评：解决该试题的关键是利用直方图得到各个区间的概率值，进而结合古典概型概率公式，确定基本事件空间，和事件A发生的基本事件数，进而得到结论。