已知函数
是R上的奇函数，当
时
取得极值
.
(I)求的单调区间和极大值
(II)证明对任意
不等式
恒成立.
(Ⅰ)单增区间
，单减区间
，极大值
；(Ⅱ)见解析.
解析试题分析：(Ⅰ)根据奇函数的定义可知
，由此解得
，由已知条件“当时取得极值”可得
以及
，联立方程组解得
，写出函数的解析式为
，然后对函数
求导，利用函数的单调性与导数的关系判断函数在实数集R上的单调性，并由此得到函数在
处取得极大值；(Ⅱ)根据函数在区间
是单调递减的，可知函数在区间上的极大值
和极小值
，从而由对任意的
都有不等式
成立，即得结论.
试题解析：(Ⅰ)由奇函数的定义，有，
即
，∴.
因此
，
，
由条件为的极值，必有.
故
，解得. 4分
因此， ，
，
.
当
时，
，故在单调区间
上是增函数；
当
时，
，故在单调区间上是减函数；
当
时，，故在单调区间
上是增函数.
∴函数在处取得极大值，极大值为. 8分
(Ⅱ)由(I)知，
是减函数，
且在
上的最大值
在上的最小值
∴对任意
恒有
12分
考点：1.求函数的解析式；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数研究函数的极值；4.解不等式；5.奇函数的性质
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
排水管，在路南侧沿直线
排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通．已知AB = 60m，BC = 60
m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为
．矩形区域内的排管费用为W．
（1）求W关于的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路
（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数
的图象，且点M到边OA距离为
．
（1）当
时，求直路所在的直线方程；
（2）当
为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
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的一个极值点，
时，证明：
是函数
的一个极值点.
与
的关系式（用
的单调递增区间；
,若存在
使得
成立，求实数
，
. 
时，求
在
处的切线方程；
在
内单调递增，求
的取值范围.
．
时，求函数
的单调区间；
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
（
，e是自然对数的底数）.
，其中
，
．
的最小值为
，试判断函数
的零点个数，并说明理由；
的取值范围．