Question

（本小题满分12分）已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）A={a|－1≤a≤1}（2）{m|m≥2，或m≤－2}.

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.       ①

设(x)=x²－ax－2，

①    

∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0,∴A={a|－1≤a≤1}.    

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，  ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，

∴   从而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.       ②

设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

         g(－1)=m²－m－2≥0，

② 

g(1)=m²+m－2≥0，      n m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

考点：函数与方程，以及不等式的综合

点评：解决该试题的关键是利用的单调性分离参数的思想得到参数a的范围，同时利用不等式的恒成立来分析得到m的范围，属于中档题。