Question

已知一个数列{a_n}，a₁=1，a_n+1-2a_n+3a_n•a_n+1=0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：将原式两边同除以a_n•a_n+1，得到

1

an+1

=

1

2

（

1

an

+3），令b_n=

1

an

，则有b_n+1=

1

2

（b_n+3），再由b_n+1+t=

1

2

（b_n+t），可得，t=-3，即有b_n+1-3=

1

2

（b_n-3），则数列{b_n-3}为等比数列，公比为

1

2

，首项为b₁-3=1-3=-2，再由等比数列的通项公式，即可得到结果．

解答： 解：∵a_n+1-2a_n+3a_n•a_n+1=0，
∴a_n=

1

2

（a_n+1+3a_n•a_n+1），
∴

1

an+1

=

1

2

（

1

an

+3），
令b_n=

1

an

，则有b_n+1=

1

2

（b_n+3），
再由b_n+1+t=

1

2

（b_n+t），
可得，t=-3，
即有b_n+1-3=

1

2

（b_n-3），
则数列{b_n-3}为等比数列，公比为

1

2

，首项为b₁-3=1-3=-2，
即有b_n-3=（-2）•（

1

2

）^n-1，
即有b_n=3-2^2-n，
则有a_n=

1

3-22-n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查构造等比数列求通项的方法，考查运算能力，属于中档题．