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若对函数y=f(x)定义域内的每一个值x1,都存在唯一的值x2,使得f(x1)f(x2)=1成立,则称此函数为“K函数”,给出下列三个命题:
①y=x-2是“K函数”;
②y=2x是“K函数”;
③y=lnx是“K函数”,
其中正确命题的序号是
分析:对于函数y=x-2,由R函数的定义得f(x1)f(x2)=1即x12x22=1,对应的x1、x2不唯一,故y=x-2不是K函数,得①不正确;对于函数y=2x,若f(x1)f(x2)=1得2x1+x2=1,即x1+x2=0,所以x2=-x1,可得x2存在且唯一得函数y=2x是K函数,故②正确;对于③,因为函数y=lnx有零点,可得当x1=1时,不存在x2满足f(x1)f(x2)=1成立,故函数y=lnx不是K函数,所以③不正确.由此可得本题的答案.
解答:解:对于①,函数y=x-2,由f(x1)f(x2)=1,得
1
x12
1
x22
=1,即x12x22=1,
对应的x1、x2不唯一,所以y=x-2不是K函数,得①不正确.
对于②,函数y=2x,由f(x1)f(x2)=1,得2x12x2=2x1+x2=1,即x1+x2=0,
所以x2=-x1,可得定义域内的每一个值x1,都存在唯一的值x2满足条件,故函数y=2x是K函数,得②正确.
对于③,因为函数y=lnx有零点,即当x1=1时,y=lnx1=0,
所以当x1=1时,不存在x2满足f(x1)f(x2)=1成立,所以函数y=lnx不是K函数,故③不正确.
综上所述,正确命题的序号是②.
故答案为:②
点评:本题给出R函数的定义,要我们验证几个函数是否为R函数.着重考查了基本初等函数的图象与性质、命题真假的判断与应用等知识,属于中档题.
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