Question

若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“K函数”，给出下列三个命题：
①y=x^-2是“K函数”；
②y=2^x是“K函数”；
③y=lnx是“K函数”，
其中正确命题的序号是

②

．

Answer 1

分析：对于函数y=x^-2，由R函数的定义得f（x₁）f（x₂）=1即x12x22=1，对应的x₁、x₂不唯一，故y=x^-2不是K函数，得①不正确；对于函数y=2^x，若f（x₁）f（x₂）=1得2x1+x2=1，即x₁+x₂=0，所以x₂=-x₁，可得x₂存在且唯一得函数y=2^x是K函数，故②正确；对于③，因为函数y=lnx有零点，可得当x₁=1时，不存在x₂满足f（x₁）f（x₂）=1成立，故函数y=lnx不是K函数，所以③不正确．由此可得本题的答案．

解答：解：对于①，函数y=x^-2，由f（x₁）f（x₂）=1，得

1

x12

•

1

x22

=1，即x12x22=1，
对应的x₁、x₂不唯一，所以y=x^-2不是K函数，得①不正确．
对于②，函数y=2^x，由f（x₁）f（x₂）=1，得2x1•2x2=2x1+x2=1，即x₁+x₂=0，
所以x₂=-x₁，可得定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂满足条件，故函数y=2^x是K函数，得②正确．
对于③，因为函数y=lnx有零点，即当x₁=1时，y=lnx₁=0，
所以当x₁=1时，不存在x₂满足f（x₁）f（x₂）=1成立，所以函数y=lnx不是K函数，故③不正确．
综上所述，正确命题的序号是②．
故答案为：②

点评：本题给出R函数的定义，要我们验证几个函数是否为R函数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、命题真假的判断与应用等知识，属于中档题．