Question

（本题14分）已知函数f （x） = ax³ +x² -ax，其中a，x∈R．

（Ⅰ）若函数f （x） 在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；

（Ⅱ）直接写出（不需给出运算过程）函数的单调递减区间；

（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函数， x∈[-1, b]（b > -1），在x = -1处取得最小值，试求b的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）解法一：

依题意知方程在区间（1，2）内有不重复的零点，

由得 

∵x∈（1，2），  ∴

∴；

令   （x∈（1，2）），则，

∴在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为，

故a的取值范围是．             ………………………5分

解法二：

依题意知方程即在区间（1，2）内有不重复的零点，

当a=0时，得 x=0，但0（1，2）；

当a≠0时，方程的△=1+12a²>0，,必有两异号根，

欲使f （x） 在区间（1，2）上不是单调函数，方程在（1，2）内一定有一根，设，则F（1）·F（2）<0，

即  （2a+2）（11a+4）<0，解得 ，

故 a的取值范围是 ．     

（解法二得分标准类比解法一）

（Ⅱ）函数g （x） 的定义域为（0，+∞），

当 a≥0时，g （x）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；

当 a<0时，g （x）的单调递减区间是  ………………8分

（Ⅲ）；

依题意 在区间[-1, b]上恒成立，

即      ①

当x∈[-1, b] 恒成立，

当 x=-1时，不等式①成立；

当 -1< x ≤b时，不等式①可化为

    ②

令 ，由a∈（-∞,-1]知，的图像是

开口向下的抛物线，所以，在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得，

而，

∴不等式②恒成立的充要条件是，

即，

亦即   a∈（-∞,-1]；

当a∈（-∞,-1]时，，

∴  （b >-1），  即 b²+b-4 ≤ 0；

解得 ；

但b >-1， ∴；

故 b的最大值为，此时 a =-1符合题意．     ……………14分

【解析】略