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8.已知函数f(x)=loga$\frac{x-2a}{x+2a}$,g(x)=loga(x+2a)+loga(4a-x),其中a>0,且a≠1.
(1)求f(x)的定义域,并判断f(x)的奇偶性;
(2)已知区间D=[2a+1,2a+$\frac{3}{2}$]满足3a∉D,设函数h(x)=f(x)+g(x),h(x)的定义域为D,若对任意x∈D,不等式|h(x)|≤2恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)由$\frac{x-2a}{x+2a}>0$,解得:函数f(x)的定义域,再由函数奇偶性的定义,可判断出f(x)为奇函数.
(2)若对任意x∈D,不等式|h(x)|≤2恒成立,即为|${log_a}(-{x^2}+6ax-8{a^2})$|≤2恒成立,分类求出各种情况下满足条件的a值,综合可得实数a的取值范围.

解答 解:(1)由$\frac{x-2a}{x+2a}>0$,整理得(x+2a)(x-2a)>0,解得x<-2a,或x>2a,
∴f(x)的定义域为(-∞,-2a)∪(2a,+∞).…(2分)
又∵$f(x)+f(-x)={log_a}\frac{x-2a}{x+2a}+{log_a}\frac{-x-2a}{-x+2a}$=${log_a}(\frac{x-2a}{x+2a}•\frac{x+2a}{x-2a})={log_a}1=0$,
∴f(-x)=f(x),
∴f(x)为奇函数.…(4分)
(2)由已知3a∉[2a+1,2a+$\frac{3}{2}$],
∴2a+1>3a,或2a+$\frac{3}{2}$<3a,即0<a<1,或a>$\frac{3}{2}$. …(5分)
又∵要使g(x)有意义,就须使x+2a>0,且4a-x>0,即-2a<x<4a,
结合(1)中f(x)的定义域知函数h(x)的自变量x须满足2a<x<4a.
由题知h(x)在区间[2a+1,2a+$\frac{3}{2}$]上有意义,
∴$\left\{\begin{array}{l}2a+1>2a\\ 2a+\frac{3}{2}<4a\end{array}\right.$解得a>$\frac{3}{4}$,
∴$\frac{3}{4}$<a<1,或a>$\frac{3}{2}$.…(6分)
∵h(x)=f(x)+g(x)=${log_a}\frac{x-2a}{x+2a}$+loga(x+2a)+loga(4a-x)=${log_a}(-{x^2}+6ax-8{a^2})$,
∴|h(x)|≤2恒成立,即为|${log_a}(-{x^2}+6ax-8{a^2})$|≤2恒成立.
因为 3a∉[2a+1,2a+$\frac{3}{2}$],所以h(x)≠2,
即题意转化为对任意x∈[2a+1,2a+$\frac{3}{2}$],不等式-2≤${log_a}(-{x^2}+6ax-8{a^2})<2$应恒成立.
…(7分)
①当$\frac{3}{4}<a<1$时,上式等价于a2<-x2+6ax-8a2≤a-2应恒成立.
由于左端a2<-x2+6ax-8a2,即(x-3a)2<0,显然不成立.…(8分)
②当$a>\frac{3}{2}$时,问题转化为a-2≤-x2+6ax-8a2<a2应恒成立.
对于右端-x2+6ax-8a2<a2,等价于(x-3a)2>0,显然成立.
研究左端${x^2}-6ax+8{a^2}+\frac{1}{a^2}$≤0成立的条件.
令$h(x)={x^2}-6ax+8{a^2}+\frac{1}{a^2}={(x-3a)^2}-{a^2}+\frac{1}{a^2}$,对称轴x=3a,开口向上.
由$a>\frac{3}{2}$知$2a+\frac{3}{2}<3a$,故h(x)在区间[2a+1,2a+$\frac{3}{2}$]上是减函数,
∴h(x)max=h(2a+1),
∴要使左端成立,只需h(2a+1)<0成立,
即需${(2a+1)^2}-6a(2a+1)+8{a^2}+\frac{1}{a^2}<0$,
也就是需2a3-a2-1>0,
也就是(a-1)(2a2+a+1)>0,
只须a>1,而已知$a>\frac{3}{2}$,故当$a>\frac{3}{2}$时,不等式a-2≤-x2+6ax-8a2<a2恒成立.
综上所述,满足条件的a的取值范围为($\frac{3}{2}$,+∞).…(10分)

点评 本题考查的知识点是函数的定义域,函数的奇偶性,函数恒成立问题,函数的最值,难度中档.

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