Question

已知函数f（x）=x²+2x+a•lnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=x²+2x+a•lnx，得f′(x)=2x+2+

a

x

，
要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴只需a≥-（2x²+2x），或a≤-（2x²+2x）在（0，1]上恒成立．
记g（x）=-（2x²+2x），
∵0＜x≤1，
∴-4≤g（x）＜0，
∴a≤-4，或a≥0．（5分）
（2）∵f（x）=x²+2x+a•lnx，
∴由f（2t-1）≥2f（t）-3，得
（2t-1）²+2（2t-1）+a•ln（2t-1）≥2（t²+2t+alnt）-3，
化简得2（t-1）²≥a•ln

t2

2t-1

，
∵t＞1时有t²＞2t-1＞0，即

t2

2t-1

＞1，
则ln

t2

2t-1

＞0，∴a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

，①-------------（7分）
构造函数h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，则h′(x)=

1

1+x

-1=-

x

1+x

，
∴h（x）在x=0处取得极大值，也是最大值．
∴h（x）≤h（0）在x＞-1范围内恒成立，而h（0）=0，
从而ln（1+x）≤x在x＞-1范围内恒成立．
∴在t＞1时，ln

t2

2t-1

=ln[1+

(t-1)2

2t-1

≤

(t-1)2

2t-1

＜（t-1）²，
而t=1时，ln

t2

2t-1

=（t-1）²=0，
∴当t≥1时，ln

t2

2t-1

≤（t-1）²恒成立，
即t≥1时，总有

2(t-1)2

ln t2 2t-1

，②
由式①和式②可知，实数a的取值范围是a≤2．（12分）