分析 先利用换元法设t=$\sqrt{x+1}$将函数转化为y=$\frac{t-2}{{t}^{2}-1+4}$=$\frac{t-2}{{t}^{2}+3}$=$\frac{t-2}{(t-2)^{2}+4(t-2)+11}$,然后再次化简转化为基本x+$\frac{a}{x}$型函数,求函数的导数,结合分式函数的性质进行求解.
解答 解:t=$\sqrt{x+1}$,∵x∈[0,3],∴t∈[1,2],
则x=t2-1,
则函数等价为y=$\frac{t-2}{{t}^{2}-1+4}$=$\frac{t-2}{{t}^{2}+3}$=$\frac{t-2}{(t-2)^{2}+4(t-2)+11}$,
令m=t-2,则m∈[-1,0],
则函数等价为y=$\frac{m}{{m}^{2}+4m+11}$
当t=2时,m=0,此时y=0,
当m∈[-1,0),
则函数等价为y=$\frac{1}{m+\frac{11}{m}+4}$,
设h(m)=m+$\frac{11}{m}$,则h′(m)=1-$\frac{11}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-11}{{m}^{2}}$,
当m∈[-1,0)时,h′(m)<0,即函数h(m)为减函数,
∴h(m)≤h(-1)=-1-11=-12,
则h(m)+4≤-12+4=-8,
则y=$\frac{1}{m+\frac{11}{m}+4}$∈[-$\frac{1}{8}$,0),
当m=0时,y=0,
综上y∈[-$\frac{1}{8}$,0],
即函数的值域为[-$\frac{1}{8}$,0].
点评 本题主要考查函数值域的求解,结合根式和分式的关系,多次使用换元法进行转化,结合函数的导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键.
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A. | (0,$\frac{1}{5}$) | B. | (0,$\frac{1}{3}$) | C. | ($\frac{1}{5}$,$\frac{1}{3}$) | D. | ($\frac{1}{3}$,1) |
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A. | $\frac{121}{27}$ | B. | $\frac{122}{27}$ | C. | $\frac{121}{81}$ | D. | $\frac{122}{81}$ |
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A. | 1 | B. | -1 | C. | ±1 | D. | 2 |
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