Question

1．求函数f（x）=$\frac{\sqrt{x+1}-2}{x+4}$，x∈[0，3]的值域．

Answer 1

分析 先利用换元法设t=$\sqrt{x+1}$将函数转化为y=$\frac{t-2}{{t}^{2}-1+4}$=$\frac{t-2}{{t}^{2}+3}$=$\frac{t-2}{（t-2）^{2}+4（t-2）+11}$，然后再次化简转化为基本x+$\frac{a}{x}$型函数，求函数的导数，结合分式函数的性质进行求解．

解答 解：t=$\sqrt{x+1}$，∵x∈[0，3]，∴t∈[1，2]，
则x=t²-1，
则函数等价为y=$\frac{t-2}{{t}^{2}-1+4}$=$\frac{t-2}{{t}^{2}+3}$=$\frac{t-2}{（t-2）^{2}+4（t-2）+11}$，
令m=t-2，则m∈[-1，0]，
则函数等价为y=$\frac{m}{{m}^{2}+4m+11}$
当t=2时，m=0，此时y=0，
当m∈[-1，0），
则函数等价为y=$\frac{1}{m+\frac{11}{m}+4}$，
设h（m）=m+$\frac{11}{m}$，则h′（m）=1-$\frac{11}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-11}{{m}^{2}}$，
当m∈[-1，0）时，h′（m）＜0，即函数h（m）为减函数，
∴h（m）≤h（-1）=-1-11=-12，
则h（m）+4≤-12+4=-8，
则y=$\frac{1}{m+\frac{11}{m}+4}$∈[-$\frac{1}{8}$，0），
当m=0时，y=0，
综上y∈[-$\frac{1}{8}$，0]，
即函数的值域为[-$\frac{1}{8}$，0]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，结合根式和分式的关系，多次使用换元法进行转化，结合函数的导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键．