Question

已知数列{a_n}中，a₁=8，且2a_n+1+a_n=6，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-2n-4|＜

1

2800

的最小正整数n是（　　）

• A、12
• B、13
• C、15
• D、16

Answer 1

分析：先由2a_n+1+a_n=6两边整理可得一新等比数列{a_n-2}，求出其通项，进而得数列{a_n}的通项，再利用分组求和法求出其前n项和为S_n，代入不等式|S_n-2n-4|＜

1

2800

即可找到对应的正整数n．

解答：解：2a_n+1+a_n=6?a_n+1-2=-

1

2

(an-2)，
所以{a_n-2}是首项为6，公比为-

1

2

的等比数列，
故a_n-2=6×（-

1

2

）^n-1，
则S_n=2n+4-4×（-

1

2

）ⁿ，
∴S_n-2n-4=-4×（-

1

2

）ⁿ．
∴|S_n-2n-4|＜

1

2800

?

1

2n-2

＜

1

2800

?2n-2＞2800，
又2¹⁰=1024，2¹¹=2048，所以满足条件的最小正整数n=13，
故选B．

点评：本题主要考查利用构造法求数列的通项和数列求和的分组求和法以及解不等式．是对知识点的一个综合，属于中档题．