Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在一周期内，当x=

π

12

时，y取得最大值3，当x=

7π

12

时，y取得最小值-3．
求：
（1）函数f（x）的解析式；并求函数f（x） 的单调增区间和对称轴方程；
（2）当x∈[-

π

12

，

π

12

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数在一个周期内的最大、最小值及相应的x值，可得A=3且ω=2，再由函数在x=

7π

12

时取得最小值-3，列式解出φ=

π

3

，由此得到函数的表达式，最后根据三角函数单调区间和对称轴方程的结论，可得函数的单调增区间和对称轴方程．
（2）当x∈[-

π

12

，

π

12

]时，可得2x+

π

3

∈[-

π

6

，

π

2

]，结合三角函数的图象与性质即可得到函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵在一周期内，函数当x=

π

12

时取得最大值3，当x=

7π

12

时取得最小值-3．
∴正数A=3，周期T满足

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，得T=π，所以ω=

2π

T

=2
因此，函数表达式为f（x）=3sin（2x+φ），
将点（

7π

12

，-3）代入，得-3=3sin（2×

7π

12

+φ），即sin（2×

7π

12

+φ）=-1
∴

7π

6

+φ=-

π

2

+2mπ，m∈Z
∵|φ|＜π，∴取m=1，得φ=

π

3

综上所述，f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+

π

3

）
令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

3

＜

π

2

+2kπ，解得-

5π

12

+kπ＜x＜

π

12

+kπ，k∈Z
∴函数f（x） 的单调增区间为（-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ），k∈Z
由2x+

π

3

=

π

2

+2kπ，解得x=

π

12

+kπ，k∈Z
∴函数图象的对称轴方程为x=

π

12

+kπ，k∈Z．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

12

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

π

2

]，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1
即得-

3

2

≤3sin（2x+

π

3

）≤3
因此，函数f（x）=3sin（2x+

π

3

）的值域为[-

3

2

，3]．

点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数f（x）的单调区间和闭区间上的值域，着重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．