已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并证明
(2)解不等式f(a-4)+f(2a+1)<0.
解:(1)函数f(x)为R上的奇函数,下面证明:
令y=x=0,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,由f(x+y)=f(x)+f(y),得f(0)=f(x)+f(-x),即0=f(x)+f(-x),
所以f(-x)=-f(x),
又f(x)定义域为R,关于原点对称,
所以f(x)为奇函数;
(2)任取x1,x2,且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1),
因为x>0时,f(x)>0,且x2-x1>0,
所以f(x2-x1)>0,即f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),
所以f(x)为R上的增函数,
f(a-4)+f(2a+1)<0?f(2a+1)<-f(a-4)=f(4-a),
由f(x)为增函数得,2a+1<4-a,解得a<1.
所以不等式的解集为{a|a<1}.
分析:(1)赋值法:根据所给恒等式,令x=y=0可得f(0)=0,令y=-x,可得f(-x)与f(x)的关系,据奇偶函数的定义即可判断;
(2)先用单调性的定义判断函数的单调性,由奇偶性、单调性的性质可把把不等式中的符号“f”去掉,从而变为具体不等式;
点评:本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的判断及其应用,考查抽象不等式的求解,关于抽象函数的性质问题往往运用定义解决,而解决抽象不等式的基本思路是转化为具体不等式求解.