Question

【题目】已知递增数列{an}，a1=2，其前n项和为Sn ， 且满足3（Sn+Sn﹣1）= +2（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 =n，求其前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：3（Sn+Sn﹣1）= +2（n≥2），

可得3（Sn﹣1+Sn﹣2）=an﹣12+2（n≥3）．

两式相减可得3（an+an﹣1）=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），

由递增数列{an}，a1=2，

可得an﹣an﹣1=3，（n≥3）．

由3（a1+a2+a1）=a22+2，3（a1+a2+a3+a1+a2）=a32+2，

求得a2=5，a3=8，

由等差数列的通项公式可得an=8+3（n﹣3）=3n﹣1，

上式对n=1，2也成立，

故数列{an}的通项公式为an=3n﹣1；

（2）解：数列{bn}满足 =n，

可得bn=（3n﹣1）2n，

前n项和Tn=22+522+823+…+（3n﹣1）2n，

2Tn=222+523+824+…+（3n﹣1）2n+1，

两式相减可得，﹣Tn=4+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣1）2n+1

=4+3 ﹣（3n﹣1）2n+1，

化简可得Tn=（3n﹣4）2n+1+8

【解析】（1）运用数列的递推式，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 结合条件和等差数列的定义和通项公式即可得到所求；（2）求出bn=（3n﹣1）2n ， 运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．