Question

已知函数f（x）=lnx+x²
（1）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
（2）在（1）条件下若a＞1，h（x）=x³-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的最小值；
（3）设F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n）且2x₀=m+n，证明：函数F（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线不可能平行于x轴．

Answer 1

分析：（1）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据二次函数的图象与性质可求出实数a的取值范围；
（2）求出函数的导数，再得出导数的正负与单调性的规律，得出函数在区间[1，2]上的最小值为h（

a

）；
（3）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx结合题意，列出方程组，证得函数y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．

解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-ax
∴g'（x）=

1

x

+2x-a  定义域：（0，+∞）
∴1+2x²-ax≥0在（0，+∞）成立
对称轴：x=

a

4

a≤0时只要最小值g'（0）=1＞0即可
a＞0时，g'（

a

4

）=

a2

8

-

a2

4

+1≥0则

a2

8

≤1
0＜a≤2

2

综上a≤2

2

．
（2）由（1）以及条件得：1＜a≤2

2

，
∵h（x）=x³-3ax，，
∴h'（x）=3（x²-a）=3（x+

a

）（x-

a

），且1＜

a

＜2．
所以当1＜x＜

a

时，h'（x）＜0，即h（x）在（1，

a

）上递增；
当

a

＜x＜2时．h'（x）＞0，即h（x）在（

a

，2）上递减．
故h（x）在[1，2]上的最小值为h（

a

）=(

a

)3-3a

a

=-2

a

．
（3）设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx
结合题意，有

2lnm-m2-km=0① 2lnn-n2-kn=0② m+n=2x0③ 2 x0 -2x0-k=0④

①-②得2ln

m

n

-(m+n)(m-n)=k(m-n)
所以k=

2ln m n

m-n

-2x0，由④得k=

2

x0

-2x0
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

⑤
设u=

m

n

∈(0，1)，⑤式变为lnu-

2(u-1)

u+1

=0(u∈(0，1))
设y=lnu-

2(u-1)

u+1

(u∈(0，1))，y′=

1

u

-

2(u+1)-2(u-1)

(u+1)2

=

(u+1)2-4u

u(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0
所以函数y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2(u-1)

u+1

＜0，也就是，ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式与⑤矛盾
所以F（x）在（x₀，F（x₀））的切线不能平行于x轴

点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题还考查了分类讨论思想在函数题中的应用，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．