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(本题满分15分)已知函数

(Ⅰ)若为定义域上的单调函数,求实数m的取值范围;

(Ⅱ)当时,求函数的最大值;

(Ⅲ)当,且时,证明:

 

 

【答案】

解: (Ⅰ),

---------2分

若f(x)在上是增函数,则,即恒成立,

,故m≥0;-----------------------------------------2分

若f(x)在上是减函数,则,即恒成立,

,故这样的m不存在.------------------------------1分

经检验,当m≥0时,恒成立,

∴当m≥0时,f(x)在定义域上是单调增函数.---------------------1分

(Ⅱ)当m =-1时,,则----------1分

时,,此时f(x)为增函数,

时,,此时f(x)为减函数----------------------------2分

在x = 0时取得最大值,最大值为----------------------1分

(Ⅲ)当m = 1时,令,--1分

在[0,1]上总有,即在[0,1]上递增------------------------------1分

∴当时,,即----1分

,由(Ⅱ)知它在[0,1]上递减,所以当时,,即-----------------1分

综上所述,当m = 1,且时,---------------1分

 

【解析】略

 

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