Question

6．若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）过点（2，1），则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由题意可得正数a，b满足a+b=1，可得$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，由基本不等式求最值可得．

解答 解：∵直线ax+2by-2=0（a，b＞0）过点（2，1），
∴正数a，b满足2a+2b-2=0，即a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$
≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$即a=$\frac{1}{3}$且b=$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$取最小值9，
故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．