Question

定义在R上的函数f（x）即是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx，则f(x)=

1

2

的解为（　　）

• A．

  π

  6

• B．x=2kπ+

  π

  6

  或x=2kπ+

  5π

  6

  (k∈Z)
• C．

  π

  6

  或

  5π

  6

• D．x=kπ+

  π

  6

  或x=kπ+

  5π

  6

  (k∈Z)

Answer 1

分析：先根据偶函数性质求出f（x）在[-

π

2

，0]上的解析式，再求出在一个最小正周期[-

π

2

，

π

2

]内的解，最后根据周期性求出所有的解．

解答：解：当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=sinx，当x∈[-

π

2

，0]时，-x∈[0，

π

2

]，∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
在一个周期[-

π

2

，

π

2

]内，f(x)=

1

2

的解分别由sinx=

1

2

，解得x=

π

6

，由sinx=-

1

2

，解得x=-

π

6

．函数f（x）又是周期函数，若最小正周期是π，
f(x)=

1

2

的解为x=kπ±

π

6

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

或x=kπ+

5π

6

(k∈Z)．
故选D

点评：本题考查三角方程求解，函数的周期性和奇偶性．考查逻辑思维能力、计算能力．