Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击； 若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击； 若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击； 若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100米处击中目标的概率为

1

2

，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
（Ⅰ）求这名射手分别在第二次、第三次射击中命中目标的概率及三次射击中命中目标的概率；
（Ⅱ）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D，设在x米处击中目标的概率为P（x），则P(x)=

k

x2

，根据射手甲在100米处击中目标的概率为

1

2

求出k的值，从而求出P（B）、P（C），由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为P=P(A)+P(

.

A

B)+P(

.

A

.

B

C)，可求出所求；
（Ⅱ）设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D．
依题意P(A)=

1

2

．
 设在x米处击中目标的概率为P（x），则P(x)=

k

x2

，
由x=100m时P(A)=

1

2

，所以

1

2

=

k

1002

，k=5000，P(x)=

5000

x

，…（2分）
∴P(B)=

5000

1502

=

2

9

，P(C)=

5000

2002

=

1

8

，…5 分
由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为P=P(A)+P(

.

A

B)+P(

.

A

.

B

C)，
即P=P(A)+P(

.

A

)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(C)
=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

． …（8分）
（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3则
P(ξ=3)=

1

2

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，
P(ξ=0)=P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

所以Eξ=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

．…（12分）

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．