Question

已知函数y=f（x）（x∈R），满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，则函数y=f（x）-log₅|x|的零点个数是

1. A.
   4
2. B.
   6
3. C.
   8
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），得出f（x）是周期为2的周期函数，再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．
解答：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的周期函数，
又x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1，
根据函数的周期性画出图形，如图，再在同一坐标系中画出函数y=log₅|x|的简图，
将函数y=f（x）-log₅|x|的零点个数问题转化为图象的交点问题，
根据图象，∵log₅|±5|=1
∴函数图象仅在（0，5），（-5，0）上有8个交点
∴函数y=f（x）-log₅|x|的零点个数为8个
故选C．
点评：本题考查了函数与方程的综合运用，考查函数的周期性，考查数形结合的数学思想，解题的关键是正确作出函数的图象．