Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足关系，a₁=2a，a_n+1=

1

2

（a_n+

a2

an

），bn=

an+a

an-a

（n∈N₊，a＞0）
（l）求证：数列{log₃b_n}是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，Sn与(n+

4

3

)a是否有确定的大小关系？若有，请加以证明，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（l）先利用已知条件求出{b_n}的递推关系式，再代入所求log₃b_n，利用定义即可证明数列{log₃b_n}是等比数列；
（2）先由（l）求出{b_n}的通项公式，进而求出数列{a_n}的通项公式，再对数列{a_n}的通项公式进行放缩后求和即可比较出，Sn与(n+

4

3

)a的大小关系．

解答：解：（l）因为b_n+1=

an+1+ a

an+1-a

=

1 2 (an+ a2 an )+a

1 2 (an+ a2 an )-a

=(

an+a

an-a

)2=b_n²．
所以有

log3bn+1

log3bn

=

log3bn2

log3bn

=2，
又log3b1=log3³=1．
故数列{log₃b_n}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（l）得log3bn=2^n-1，所以b_n=32n-1，
由b_n=

an+a

an-a

?a_n=a+

2a

bn-1

=a+

2a

33n-1-1

．
当n≥2时，32n-1-1=(1+2)2n-1-1≥（1+2^n-1•2+

C

2 2n-1

•22）-1=2ⁿ+

2n-1(2n-1-1)

2

•22=2ⁿ+2^2n-1-2ⁿ=2^2n-1．
所以有

1

32n-1

≤

1

22n-1

，
故sn=(a+

2a

3-1

)+(a+

2a

32-1

 )+…+(a+ 

2a

32n-1-1

)=na+2a（

1

2

+

1

32-1

+…+

1

32n-1-1

）
≤na+2a（

1

2

+

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

）=na+2a•

1 2 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=na+

4

3

a（1-

1

4n

）＜na+

4

3

a．
即n≥2，Sn与(n+

4

3

)a有确定的大小关系，前小后大．

点评：本题主要考查数列的递推关系式的应用以及利用放缩法比较大小，是一道比较难的题目..