Question

【题目】已知函数f（x）=aex图象在x=0处的切线与函数g（x）=lnx图象在x=1处的切线互相平行．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设直线x=t（t＞0）分别与曲线y=f（x）和y=g（x）交于P，Q两点，求证：|PQ|＞2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=1；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义可知，在某点处的切线的斜率即为该点处的导数值；

（Ⅱ）由题意|PQ|=|et-lnt|，构造新函数h（x）=ex-lnx，x＞0，，利用导数求解新函数的最小值，可证结论.

（Ⅰ）由f（x）=aex，得f（x）=aex，所以f（0）=a，

由g（x）=lnx，得，所以g（1）=1，由已知f（0）=g（1），得a=1，

经检验，a=1符合题意．

（Ⅱ）由题意|PQ|=|et-lnt|，t＞0，设h（x）=ex-lnx，x＞0，

则，设，

则，所以（x）在区间（0，+∞）单调递增，

又（1）=e-1＞0，，所以（x）在区间（0，+∞）存在唯一零点，

设零点为x0，则，且．

当x∈（0，x0）时，h（x）＜0；当x∈（x0，+∞），h（x）＞0．

所以，函数h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，

，由，得lnx0=-x0，

所以，由于，h（x0）＞2．

从而h（x）＞2，即ex-lnx＞2，也就是et-lnt＞2，|et-lnt|＞2，

即|PQ|＞2，命题得证．