【题目】已知函数f(x)=aex图象在x=0处的切线与函数g(x)=lnx图象在x=1处的切线互相平行.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设直线x=t(t>0)分别与曲线y=f(x)和y=g(x)交于P,Q两点,求证:|PQ|>2.
【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义可知,在某点处的切线的斜率即为该点处的导数值;
(Ⅱ)由题意|PQ|=|et-lnt|,构造新函数h(x)=ex-lnx,x>0,,利用导数求解新函数的最小值,可证结论.
(Ⅰ)由f(x)=aex,得f(x)=aex,所以f
(0)=a,
由g(x)=lnx,得,所以g
(1)=1,由已知f
(0)=g
(1),得a=1,
经检验,a=1符合题意.
(Ⅱ)由题意|PQ|=|et-lnt|,t>0,设h(x)=ex-lnx,x>0,
则,设
,
则,所以
(x)在区间(0,+∞)单调递增,
又(1)=e-1>0,
,所以
(x)在区间(0,+∞)存在唯一零点,
设零点为x0,则,且
.
当x∈(0,x0)时,h(x)<0;当x∈(x0,+∞),h
(x)>0.
所以,函数h(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,
,由
,得lnx0=-x0,
所以,由于
,h(x0)>2.
从而h(x)>2,即ex-lnx>2,也就是et-lnt>2,|et-lnt|>2,
即|PQ|>2,命题得证.
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【题目】已知单调等比数列中,首项为
,其前n项和是
,且
成等差数列,数列
满足条件
(Ⅰ) 求数列、
的通项公式;
(Ⅱ) 设 ,记数列
的前
项和
.
①求 ;②求正整数
,使得对任意
,均有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】
某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀(体育成绩满分100分,不低于85分称优秀)人数之间的关系进行分析研究,他们从本校初二,初三,高一,高二,高三年级各随机抽取了40名学生,记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数,得到如下数据表:
初二 | 初三 | 高一 | 高二 | 高三 | |
周平均体育锻炼小时数工(单位:小时) | 14 | 11 | 13 | 12 | 9 |
体育成绩优秀人数y(单位:人) | 35 | 26 | 32 | 26 | 19 |
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.
(1)若选取的是初三,高一,高二的3组数据,请根据这3组数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过1,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠?
参考数据:,
.
参考公式:,
.
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据,问是否有
的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:
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【题目】随着高考制度的改革,某省即将实施“语数外+3”新高考的方案,2019年秋季入学的高一新生将面临从物理(物)、化学(化)、生物(生)、政治(政)、历史(历)、地理(地)六科中任选三科(共20种选法)作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革,在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查,每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表:
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
组合学科 | 物化生 | 物化政 | 物化历 | 物化地 | 物生政 | 物生历 | 物生地 | 物政历 | 物政地 | 物历地 |
人数 | 20人 | 5人 | 10人 | 10人 | 5人 | 15人 | 10人 | 5人 | 0人 | 5人 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 合计 |
化生政 | 化生历 | 化生地 | 化政历 | 化政地 | 化历地 | 生政历 | 生政地 | 生历地 | 政历地 | |
5人 | … | … | … | … | … | 10人 | 5人 | … | 25人 | 200人 |
为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析
(l)样本中选择组合20号“政历地”的有多少人?若以样本频率作为概率,求该高中学生不选物理学科的概率?
(Ⅱ)从样本中选择学习生物且学习政治的学生中随机抽取3人,求这3人中至少有一人还学习历史的概率?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线经过点
,过
作两条不同直线
,其中直线
关于直线
对称.
(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程;
(Ⅱ)设直线分别交抛物线
于
两点(均不与
重合),若以线段
为直径的圆与抛物线
的准线相切,求直线
的方程.
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