Question

已知点P（2，0），及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程变为标准方程后，分两种情况①斜率k存在时，因为直线经过点P，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k的值和P的坐标写出直线l的方程即可；②当斜率不存在时显然得到直线l的方程为x=2；（
2）利用弦|AB|的长和圆的半径，根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长，然后设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于|CP|列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程，把直线l的方程与已知圆的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理即可求出线段AB中点的纵坐标，把纵坐标代入到直线l的方程中即可求出横坐标，即可得线段AB的中点坐标即为线段AB为直径的圆的圆心坐标，圆的半径为|AB|的一半，根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可．

解答：解：（1）由题意知，圆的标准方程为：（x-3）²+（y+2）²=9，
①设直线l的斜率为k（k存在）
则方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0
又⊙C的圆心为（3，-2），r=3，
由

|3k-2k+2|

k2+1

=1?k=-

3

4

所以直线方程为y=-

3

4

(x-2)即3x+4y-6=0；
②当k不存在时，直线l的方程为x=2．
综上，直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2；

（2）由弦心距d=

r2-( AB 2 )2

=

5

，即|CP|=

5

，
设直线l的方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0则圆心（3，-2）到直线l的距离d=

|3k+2-2k|

k2+1

=

5

，
解得k=

1

2

，所以直线l的方程为x-2y-2=0联立直线l与圆的方程得

x-2y-2=0 (x-3)2+(y+2)2=9

，
消去x得5y2-4=0，则P的纵坐标为0，把y=0代入到直线l中得到x=2，
则线段AB的中点P坐标为（2，0），所求圆的半径为：

1

2

|AB|=2，
故以线段AB为直径的圆的方程为：（x-2）²+y²=4．

点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及韦达定理化简求值，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．