【题目】已知焦点在轴上的椭圆
过点
,且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线(
,
)与椭圆C交于两点A、B,点D满足
,经过点D及点
的直线的斜率为
,求证:
.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)设椭圆C的标准方程为(a>b>0),根据a2=b2+c2,椭圆C过点(0,1),离心率为
,即可求得椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)由题意知点D为线段AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),G(xD,yD),由题意知xD=﹣4kyD,,从而求出
,进而得到
,由此可知
.
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
,且
.
由题意可知:,
.所以
.
所以,椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)方法一:
,点D为线段AB的中点
设
,
,∴
由,得
,
∵,
∴,
,∴
.
方法2:
,点D为线段AB中点,
设
,
,∴
,
由,得
,
∵,∴
,
,∵
,
,∴
.
方法3:由,得
,
令,得
,
设,
,点D为线段AB的中点,
设,
,
∵,∴
,
,
∵,
,∴
.
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【题目】有如下3个命题;
①双曲线上任意一点
到两条渐近线的距离乘积是定值;
②双曲线的离心率分别是
,则
是定值;
③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是
,则直线
过定点;其中正确的命题有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
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【题目】如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法,执行该程序框图,则输出的结果S表示的值为( )
A.a0+a1+a2+a3
B.(a0+a1+a2+a3)x3
C.a0+a1x+a2x2+a3x3
D.a0x3+a1x2+a2x+a3
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【题目】已知函数f(x)=sin2ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,若所得图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=DC= AB=
,平面PBC⊥平面ABCD.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)若PB=PC= ,问在侧棱PB上是否存在一点M,使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的中位数是83,乙班学生成绩的平均数是86,则x+y的值为( )
A.168
B.169
C.8
D.9
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【题目】命题p:α∈R,sin(π﹣α)=cosα;命题q:“0<a<4”是“关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集是实数集R”的充分必要条件,则下面结论正确的是( )
A.p是假命题
B.q是真命题
C.“p∧q”是假命题
D.“p∨q”是假命题
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