Question

某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是

3

4

，

1

2

，

1

4

，且各阶段通过与否相互独立．
（Ⅰ）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（Ⅱ）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差．

Answer 1

分析：（Ⅰ）该选手在复赛阶段被淘汰包括通过初赛，不能通过复赛，这两个事件是相互独立的，根据P(A)=

3

4

，P(B)=

1

2

，和相互独立事件的概率得到结果．
（II）该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，结合变量对应的事件写出变量的概率，做出期望和方差．

解答：解：（Ⅰ）该选手在复赛阶段被淘汰包括通过初赛，不能通过复赛，这两个事件是相互独立的，
记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，
“该选手通过决赛”为事件C，
则P(A)=

3

4

，P(B)=

1

2

，P(C)=

1

4

．
根据相互独立事件的概率得到
该选手在复赛阶段被淘汰的概率是P=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

（Ⅱ）该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3
P(ξ=1)=P(

.

A

)=1-

3

4

=

1

4

，
P(ξ=2)=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

，
P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=

3

4

×

1

2

=

3

8

∴ξ的数学期望Eξ=1×

1

4

+2×

3

8

+3×

3

8

=

17

8

ξ的方差Dξ=(1-

17

8

)2×

1

4

+(2-

17

8

)2×

3

8

+(3-

17

8

)2×

3

8

=

39

64

…

点评：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题目，可以作为理科高考中的解答题．