Question

【题目】已知函数f（x）=ex-x2+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x2+x；

（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1);(2)详见解析；（3）

【解析】

（1）由题意利用导函数与原函数的关系得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；

（2）构造函数φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，利用导函数的性质确定其最小值即可证得题中的不等式；

（3）将原问题转化为≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，然后构造函数结合(2)中的结论求解实数k的取值范围即可.

（1）f（x）=ex-x2+a，f'（x）=ex-2x．

由已知，f（x）=ex-x2-1．

（2）令φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，φ'（x）=ex-1，由φ'（x）=0，得x=0，

当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；

当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．

∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x．

（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立

≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=，x＞0，

∴g′（x）=，

由（2）可知当x∈（0，+∞）时，ex-x-1＞0恒成立，

令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．

∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．

∴k≤g（x）min=g（1）=e-2，∴实数k的取值范围为（-∞，e-2]．